| Språk : |
|
| Encyclopedia gemenskap |Encyclopedia Svar |Submit fråga |Ordförråd Kunskap |Överför kunskap |
Funktion tillnärmning teori |
        |
|
Teori för funktioner av en viktig del av de berörda grundläggande frågor approximeras funktion problem. I den matematiska teori och praktisk tillämpning av nästa klass av problem ofta stött: a klass av funktioner i den valda hitta en funktion g, är det känt att fungera i en viss approximeras känsla ƒ, och beräknas i g ƒ ungefärliga fel genereras. Detta är funktionen approximation problemet. In funktion approximation problem används för att approximera en funktion av känd funktion ƒ klass kan ha olika val, ens fungera klasser valts i sådana funktioner som en ungefärlig representation av ƒ bestäms av funktionen g är fortfarande alla typer av alla sorters, g grad av approximation av ƒ (fel) kan också ha en mängd olika betydelser. Så funktionsanpassning problemformulering har en mängd olika former, är dess innehåll mycket rik.Tillnärmning funktionsklass Givet en funktion f (x), används för att approximera f (x) av funktionen är i allmänhet i en relativt enkel funktion för att hitta den klass, är denna klass anropade funktionen approximationsfunktionen klasser. Approximationsfunktionen klass kan ha en mängd olika alternativ. n algebraiska polynom, dvs alla former av formeln (Där α0, α1, ..., är αn ett reellt tal, k = 0,1, ...) som en funktion av samlingen, n-order trigonometriska polynom, dvs alla former av formeln (Där α0, α1, ..., αn, b1, b2, ..., bn är ett reellt tal, k = 1,2, ...) av uppsättningen av funktioner, dessa är de mest använda klass av approximationsfunktionen. Andra exempel algebra av polynom över den rationella fraktionen utgjorde uppsättning av ortogonala funktioner genom en linjär kombination av (dimension fast) linjär uppsättning, i enlighet med vissa villkor definierade uppsättning av spline-funktioner, etc. är också mycket användbar approximation klass av funktioner. Tillnärmning problem i en utvald vilken typ av funktion klasser för klasser approximationsfunktionen, beroende på egenskaperna hos den approximerade funktionen själv, men också och villkor som krävs approximation och andra faktorer. Tillnärmning Med tanke på approximationsfunktionen ƒ och den valda klassen, hur man bestämmer tillnärmningsfaktorn funktionsklass uttryckas som en funktion g ƒ ungefärliga metoder varierar. Till exempel interpolation används för att bestämma en gemensam funktion strategi approximation. Den så kallade interpolation är att finna en approximation funktionsklass g (x), vilket gör det i någon förutbestämd punkt och ƒ (x) har samma värde, eller mer generellt kräver g (x) och f (x) i en specificerad punkt på den första derivatan har samma värde. Använda interpoleringsmetod att konstruera polynomapproximation förhållningssätt i matematik har en ganska lång historia. Analys är ett slags berömd Taylor polynominterpolering polynom. Dessutom, en rad approximation problem är den linjära operatören också allmänt används i en stor klass av approximation verktyg. Den så kallade linjära operatören hänvisar till något slags approximation L, för tillnärmningsfaktorn funktionen ƒ, g, har approximationsfunktionen klass L (ƒ), L (g) approximeras med dem, och för alla reella tal α, β är l ( αƒ βg) = αl (ƒ) βl (g). Approximationsmetod att konstruera linjära förarens bekvämlighet. Ett typiskt exempel är 2π periodisk kontinuerlig funktion f (x) av ordning n Fourier avsnitt och Sn (ƒ, x), som definierar en uppsättning 2π periodiska kontinuerliga funktioner till trigonometriska polynom av ordningen n inom uppsättning linjära operatörer Sub-Sn. Sn (ƒ, x) kan användas för att approximera f (x). Förutom linjär operatör approximation problem är också i utvecklingen av icke-linjär approximation metoden. Denna grundläggande uppgift är mitten av förra århundradet av den ryska matematikern Π.Л. Chebyshev föreslås bästa approximation. 1859 Chebyshev forskning i kombination med mekanisk design frågor upp och diskuterade följande typer av extremal problem: Givet [α, b] intervall av kontinuerlig funktion f (x), P (x, α0, α1, ..., αn) är beroende av parametern α0, α1, ..., αn av de elementära funktionerna (såsom polynom, rationellt fraktion), med P (x, α0, α1, ..., αn) att approximera f (x), om det resulterande felet med användning av formeln För att mäta, ombedd att välja en uppsättning parametrar för att minimera felet. Denna lösning på problemet är att söka minimum. När parametern ger den minsta fel när kallas ƒ (x) i P (x, α0, α1, ..., αn) som en funktion av klass utgör en bästa approximation element; numerisk kallas ƒ (x) med hjälp av funktionen P (x, α0, α1, ..., αn) för att approximera det optimala approximation. Chebyshev studerade P (x, α0, α1, ..., αn) är ett polynom av grad n (n är en fast heltal, α0, α1, ..., αn är koefficienter, kan de vara något värde för parametern) i ärendet. Här är den bästa metoden beror på ƒ, men inte linjärt beroende. Så det bästa Chebyshev approximation är en ickelinjär approximation. Fel Även känd som den grad av tillnärmning. För att mäta funktionen g på ƒ grad av approximation (Tillnärmning), ofta används i approximation teorin abstrakt metriska mått rumskonceptet. För approximation problem som ofta uppstår i en viss klass av funktioner, som vanligen används för att mäta är följande: ① definierad på [α, b] av alla kontinuerliga funktioner på C [α, b] för varje två funktioner f (x) kan g (x) vara närheten Formel Formel 1 1 till föreskrifterna. Genom denna åtgärd leder till samma grad av approximation kallas graden av approximation, ② definierad på [α, b] på alla fyrkantiga integrerbara funktioner l2 [α, b] varje två funktioner f (x), g (x) close examenskraven enligt ekvation 2, som är kvadraten på graden av approximation, ③ definierad på [α, b] P på kraften i alla integrerbara funktioner lp [α, b] (p ≥ 1) kan tas inom 3 3 som ett mått på graden av tillnärmning som produceras av det kallas p-te potensen av den grad av tillnärmning. 2 Generera teori funktionsanpassning Från den 18: e-talet till början av 19-talet, i L. Euler, P.-S. Laplace, J.-B.-J. Fourier, tävla J.-V. Peng ut forskningsarbete och andra matematiker har varit inblandad i en del av den särskilda funktion av individuella bästa approximation. Dessa frågor är från källor såsom kartografi, geodesi, mekanisk konstruktion och andra aspekter av de presenterade faktiska behov. Vid den tidpunkt då konceptet är inte troligt att bilda en djup och enhetlig strategi. Chebyshev bästa approximationen föreslagna begrepp studeras approximationsfunktionen klass är den bästa approximation polynom av grad n är den typ av dollar för att fastställa deras förmåga att bedöma polynom av bästa approximation elementet karakterisering teorem. Han och hans studenter har studerat den minsta avvikelse från noll polynom problem, har många viktiga resultat. Känd [α, b] intervall av kontinuerlig funktion f (x), falskt, (n ≥ 0), kallas f (x) av ordning n bästa enhetlig approximation värde, hänvisad till som den bästa approximationen värde, betecknat med En (ƒ). Kan uppnå det minsta antalet som kallas ƒ (x) är den bästa approximation polynom av ordning n. Chebyshev visade att, i intervallet [-1,1] funktion xn 1 om bästa approximation polynom av ordningen n måste uppfylla förhållandet. Tal är den berömda Chebyshev polynom. Chebyshev visade också att, ... är ƒ (x) på [α, b] ör den bästa approximationen polynomet nödvändigt och tillräckligt villkor är: [α, b] det finns n 2 poäng: α ≤ x1 <x2 <... xn 2 ≤ b, vid dessa punkter i enlighet med i = 1,2, ..., n 2 Ändra ordning på sammanlagring, ②. Point gruppen {x1, x2, ..., xn 2} är den berömda Chebyshev förskjutna grupper. 1885 tyske matematikern K. (TW) Weierstrass polynom som används i studien uniform approximation av kontinuerliga funktioner frågan visade ett teorem, bekräftade detta teorem i princip varje kontinuerlig funktion kan användas i alla polynom Precisionen pre-specificerad i funktionen definition intervall approximeras likformigt, men angav inte hur man väljer den bästa ordningens approximation polynom. Om vi betraktar den senare frågan, då naturligtvis måste du överväga hur många gånger inte överstiger en fast heltal n, hur man väljer alla polynom ƒ (x) är förenligt med den minsta felet polynom problem, och det är just Chebyshev approximation den grundläggande idén. Så det kan sägas Chebyshev och Weierstrass approximation teori är grundaren av den moderna utvecklingen. Utveckla I början av 1900-talet en grupp framstående matematiker, inklusive С.Η. Bernstein, D. Jackson, Valle - Poussin, HL Lebesgue aktivt deltagande av andra, skapa en bästa approximation teori blomstrande scen. Denna teori främst i följande avseenden har gjort stora framsteg: ① kvantitativ teori om bästa approximation I approximation teorin systematiskt belysa funktionen hos den bästa approximationen Sv (ƒ) (med hjälp av algebraiska polynomapproximation, eller för 2π periodiska funktioner med hjälp av triangulär polynomapproximation, eller med hjälp av rationell funktion approximation, etc.) antalet Orobanche n → ∞ beteende och funktion ƒ (x) är konstruerad natur (differentierbarhet, jämnhet, analyticitet, etc.) den inneboende kopplingen mellan teori kallad kvantitativ teori. Sats beskrivs nedan återspeglar typisk struktur funktion och dess bästa approximation naturen djup anslutning mellan värdena. Jackson, Bernstein, A. Chan Gemeng bevisa: 2π periodisk funktion f (x) uppfyller villkoret eller med R-ordningens derivata f (r) (r = 0,1,2, ...) nödvändigt och tillräckligt villkor är att ƒ (x) med hjälp av trigonometriska polynom av bästa likformig approximation av ordning n värden (enligt bästa approximation, förkortat) uppfyller villkoren ger formeln Formel Skick I formeln M, är A inte är beroende av en positiv konstant n. För [α, b] på intervallet (utan hänsyn till periodisk) kontinuerlig funktion med hjälp av algebraiska polynomekvation Det ungefärliga värdet av funktionen för att bygga länkar mellan natur och dessa resultat är också liknande sats, men situationen är mer komplicerad än den periodiska funktionen. Problemet är i 1950-talet av den sovjetiska matematikern Α.Ф. Tudjman, Β.К. Jia Deke lösa. Jackson, Bernstein och andra som arbetar med att utveckla tillnärmning teori, är effekten djupgående. De öppnade fortsätta längs riktningen av djupet till mitten av 1930-talet har det funnits JA Six, Α.Η. Kolmogorovs periodiska differentiable funktion klasser på trigonometriska polynom av bästa approximation med hjälp av exakta uppskattningar samt med Fourierserier i samma avsnitt och asymptotiska approximation exakt uppskattning av arbetet. Båda fungerar att starta från Jackson tillnärmningen teorin om kvantitativ forskning till en ny nivå. Sedan dess, fram till 1960-talet, i syfte att С.М. Nico Rizky, Α.И. 阿希耶泽尔 andre representerar många forskare i approximation teorin har många kvantitativa studier fortsätter intensivt forskningsarbete. ② kvalitativ teori om tillnärmning teori Chebyshev hittat den bästa approximation av kontinuerliga funktioner karakteristiska polynomet föreslås för Chebyshev alternerande gruppen känd karakterisering teorem. Bästa approximation polynom är unik där. Bästa approximation polynom existens, entydighet och egenskaper kvalitativa satser är resultatet av en fördjupad studie av dessa frågor utgör en kvalitativ studie av grundläggande approximation teorin innehåll. Ungerska matematikern A. Hal först studerade 1918 av generaliserade polynom i [α, b] för godtycklig kontinuerlig funktion på bästa approximation polynom ƒ unika problem. I [α, b] n 1 ges på linjärt oberoende kontinuerlig funktion formel . Som en approximation funktionsklass formel , Var α0, α1, ..., är αn en godtycklig parameter. Sådana P (x) kallas den generaliserade polynom. Finns det. Hal visade att för varje kontinuerlig funktion ƒ för att vara unik och får inte identiskt noll bara antingen en generaliserad polynom P (x, α0, α1, ..., αn) i [α, b] inom högst n olika rötter. På 20-talet, 20 till 30 år, Bernstein, М.Γ. g kolonn eftersom sådana personer uppfyller villkoren i brevet formeln Hal Gjort en hel del djupgående forskning. Det är i tillnärmning teori, har interpolation teori, spline analys, ögonblick teori, matematisk statistik, ett relativt brett område av applikationer. |
| Användare Omdöme |
|
Inga kommentarer |
