| Språk : |
|
| Encyclopedia gemenskap |Encyclopedia Svar |Submit fråga |Ordförråd Kunskap |Överför kunskap |
Algebraisk topologi |
  |
|
Förhållandet mellan algebra och topologi I huvudsak beroende av algebraisk topologi verktyg för att lösa problemet på en gren. Homologi och homotopiteori är att de två grundpelarna i algebraisk topologi (se homologiteori, homotopiteori). Teori av algebraisk topologi Snittkohomologi teori på området, eftersom (J. -) H. Poincaré först skapa ett utrymme split Snittkohomologi, är människor inte nödvändigtvis försöker inte delas upp för allmän topologi av komplex-format utrymme för att skapa Snittkohomologi teori. Sedan kom flera utrymmen på allmänna Snittkohomologi teorier. För att uppnå syftet med harmonisering och förenkling, S. Alan Berg och NE Steenrod förespråkas i mitten av 1940-talet med införandet av axiomatiskt förhållningssätt till homologi grupp. Med denna bakgrund, inte bara så att folk klassisk homologiteori att se klarare, men också för den generaliserade homologi teorin skapar förutsättningar för uppgång.Generaliserad Snittkohomologi teori förutom dimension axiom uppfyller alla utom Alan Berg - Steenrod homologiteori axiom. Har sin egen geometriska bakgrund för olika generaliserad Snittkohomologi teori avsevärt har öppnat upp området algebraisk topologi, med algebraiska metoder förbättra förmågan att lösa geometriska problem. Representation av generaliserad sammanhängande homotopy teorem visar att konceptet kan slipas upp till etablera homologi teori. För närvarande är det viktigt generaliserad homologiteori med rm Snittkohomologi, co-kant Snittkohomologi, MU Snittkohomologi, BP Snittkohomologi, och så vidare. Oavsett sammanhängande homotopy från geometri till algebra övergången är alltid uppnås genom en funktor. Kategori och funktor teori, först av de behov som algebraisk topologi, nu i många grenar av matematiken har ett brett användningsområde. Vare Homotopy eller homologi, är var och en topologiskt utrymme X motsvarar en grupp F (X), för varje kontinuerlig karta:? X → Y motsvarar en homomorfism F (?): F (X) → F ( Y), och uppfylla: ① När X = Y, = konstant och andra själv-mapping, F () = identitet automorfism??. ② Om g: Y → Z, då F (g?) = F (g) F (?). Som med denna typ av funktor topologiska problemlösning ett exempel anser:? X → Y är homeomorfa till fallet, då F och F är inverterad med staten, alltså F (?) (?) (?): F (X) → F (Y) är isomorf. Bevisa två utrymmen X och Y hos en annan embryonal gemensam strategi är att hitta en lämplig funktor F, så att F (X) isomorphic till F (Y). Topologiska invarianter är ofta här funktor. Algebraisk topologi Homologi och homotopy är väsentligen olika begrepp, som från enkla exemplet kan ses. I figuren, låt F vara den toriska ytan skär ett runt hål erhålls. Gränsen cirkel C på ytan F är noll Snittkohomologi i en endimensionell sluten kedja. Men som F på C Ring Road är annorlunda Lun vid 0. Det har länge varit känt, inte nödvändigtvis kommutativ fundamentala gruppen efter byta teknik är isomorf med den endimensionella homologi grupp. För samma samklang med Homotopy fördjupad diskussion om förhållandet mellan resultaten föranledde homologisk algebra utvecklats snabbt framåt. Detta är en uppsättning kraftfulla verktyg inte bara för algebraisk topologi själv en enorm inverkan, men också djupt tränga in i andra grenar av matematiken, såsom algebra, algebraisk geometri, funktionell analys, differentialekvationer, komplex analys och så vidare. Med samma melodi dubbla Snittkohomologi med dem vid många tillfällen effektivare än samma låt, vilket är H. Whitney upptäckten på 1930-talet. S. Lefschetz konvektion-format tvärsnitt på Snittkohomologi teorin av den fördjupade studie inspirerar människor att tänka på Snittkohomologi produkt existerar. NE Steenrod H. Hopf, efter att ha följt den begränsade forskning sfär Sn komplex K till en kontinuerlig karta homotopy klassificering problemet och hittade en klass av Snittkohomologi verksamhet. Snittkohomologi med Snittkohomologi verksamhet gör ovan algebraisk geometri objekt som motsvarar objektet har en rikare struktur, och därmed förmågan att lösa problem är också starkare. Algebraisk topologi som aldrig uppmärksamma de särskilda homologi utrymme computing grupper, Snittkohomologi, drift Snittkohomologi och så vidare. Ligg utrymme, och de associerade objekten som ska prövas först. Denna beräkning är starkt beroende av fiberknippet eller utrymmen fiber av botten utrymmet av fibern och hela utrymmet mellan samma ton. År 1946, J. Leray spektrala sekvens med homologi till fibern utrymme beräknas djupgående resultat. Följt av applicering av fiber utrymmen med JP Serre Snittkohomologi spektral sekvens av homotopiteori i genombrott, var det erhållna resultatet nästan otänkbart: πq (S) utom q = n och q = 2n-1, n är även fallet, är ändliga grupper. Ett annat viktigt bidrag av försäljning är ett väletablerade principer för algebra transplanteras till topologin i det förflutna, det vill säga genom ett lokalt problem i alla p (p är ett primtal) för att få en lösning på problemet att lösa det ursprungliga problemet som helhet . Efter DP Sullivan ytterligare systematisk forskning, den nuvarande lokalisering och kompletteringar i algebraisk topologi där idén har blivit en grundläggande princip med. Om du har en kontinuerlig topologiskt utrymme och på multiplikation multiplikation element på enheten kallas H-Space. Lie är ett specialfall av H-Space. För H-space med Homotopy egenskaper sammanhållen forskning har uppnått många viktiga resultat, berika innehållet i algebraisk topologi. Euklidiska rymden R, när n = 2,4,8 · multiplikation kan definieras när en relation av x · y ‖ ‖ = ‖ x ‖ y ‖ ‖ där norm betecknar R,> R (n = 2 , 4,8) poäng, respektive, så komplext, quaternion, Gloria räkna med att få denna multiplikation. Finns det andra värden på n så att R kan normerade algebra det? Om R har ett normerat algebra struktur, då sfären S är H utrymme. Denna senare slutsats motsvarar närvaron av en annan Hopf invariant lika med den sfäriska kartläggning av S → S. Problemet är den inledande utvecklingen av homotopiteori föreslogs, då är frågan svår att starta. I närheten av där med detta problem på sfären S uppåt till antalet linjärt oberoende tangerande problem vektorfält. 1960, JF Adam Schein botten löser båda problemen. Så vet att bortsett från n = 2,4,8 vilken flera kända fall, är det omöjligt att hålla införandet av R-normen multiplikation. En forntida pussel med algebraisk topologi sätt att få ditt svar. Adams tar också fördel av homologisk algebra (inklusive spektralanalys sekvens), Snittkohomologi funktion teori, generaliserad Snittkohomologi teori och andra aspekter av tiden kan ge verktyg för att ge dem möjlighet att fullt ut spela makten. Dessa framgångar är tillräckliga för att visa att tiden är i utvecklingen av algebraisk topologi klimax. 70 år senare, men inte så fantastisk ström av tidigare år, som ett resultat av algebraisk topologi fortfarande gjort framsteg på många områden. Till exempel i generaliserad Snittkohomologi teori om omvandling grupp under inverkan av Kovariant Snittkohomologi och homotopiteori, oändlig slinga kanalutrymmet, rationellt homotopiteori, homotopy gruppindex beräknas från differentiell topologin hos algebraiska topologi frågor och andra aspekter har fått givande resultat. För närvarande, dels i andra grenar av matematiken, har naturvetenskap och andra tekniska områden blir alltmer utbredd tillämpning av algebraisk topologi och djupgående, å andra sidan, har som i sig ett antal viktiga frågor kvarstår olösta, eller har inte helt löst, under höjden av algebraisk topologi annan utveckling ankomst är att vänta. Bibliografi Jiang Zehan med: "Introduktion till Topologi", Shanghai vetenskap och teknik Press, Shanghai, 1978. MJGreenberg, Föreläsningar om algebraisk topologi, WABenjamin, New York, 1967. EHSpanier, algebraisk topologi, McGraw-Hill, New York, 1966. |
| Användare Omdöme |
|
Inga kommentarer |
