| Språk : |
|
| Encyclopedia gemenskap |Encyclopedia Svar |Submit fråga |Ordförråd Kunskap |Överför kunskap |
Riemann geometri |
       |
|
Tyske matematikern (GF) B. Riemann föreslog i mitten av 19th century geometrisk teori. År 1854 publicerade han vid universitetet i Göttingen i sitt invigningstal, med titeln "På grundval av antaganden geometri" kan sägas göras om Riemann geometri. Kort introduktion Tyske matematikern (GF) B. Riemann föreslog i mitten av 19th century geometrisk teori. År 1854 var han i Riemann geometri Göttingen University of Michigan publicerade sitt invigningstal, med titeln "På grundval av de antaganden som geometri" kan sägas göras om Riemann geometri. Matematiskt sett, utvecklade han idén om rymden, den första att erkänna att studieobjektet i geometri är en "multi-omfattande kvantitet," då du kan använda n reella tal som koordinater för att beskriva, att modern Den ursprungliga formen av grenrör, för användning av abstrakta rymden beskrivning av naturfenomen stiftelse. Dessutom, menar han, vanligen kallad känt vid tidpunkten för mätningen geometri ligger inom ramen för geometri, om utanför detta område, eller till en mer detaljerad nivå innanför räckvidden, oavsett euklidiska rymden är finns ett behov av att kontrollera problemet, måste förlita sig på resultaten för att bestämma utvecklingen av fysik. Han ansåg att utrymmet (det vill säga grenrör) bör baseras på geometrin hos oändligt avstånd mellan intilliggande punkter. I det oändligt lilla mening, uppfyller detta avstånd fortfarande Pythagoras sats. Han föreslog därför att begreppet riemannska metersystemet. Denna idé har sitt ursprung C.F. gauss. Men en mer generaliserad Riemann föreslagna idéer. I euklidiska geometrin, är kvadraten på avståndet mellan intilliggande punkter formelnDetta bestämmer den euklidiska geometrin. Men i allmänhet kroklinjiga koordinater, bör det vara, vilket är en ganska speciell uppsättning funktioner. Om det är en allmän funktion, och (gij) är fortfarande en positivt definit symmetrisk matris, då avgång, kan du också definiera en geometri, som är Riemanns geometri. Formel Eftersom vid varje punkt runt de markerade koordinaterna är satta så att vid denna punkt, så att mycket litet område inuti Pythagoras hållbar. Men i större omfattning och euklidiska geometrin där det finns generellt en stor skillnad. Riemann insåg att avståndet bara lagt ett grenrör struktur, i samma Formel Fördelarna kan ha många Riemannsk metrisk, och därmed bli av med den klassiska differential geometri yta teori begränsas inducerade metriska begränsningar. Detta är en enastående insats. Formel Därefter har EB Christoffel, G. Ritchie och andra också vidareutvecklat den Riemanngeometri, i synnerhet utvecklingen av tensoranalys Ritchie metod, vilket i allmän relativitetsteori spelar en grundläggande roll. 1915 A. Einstein skapade teorin om allmän relativitet, den Riemanngeometri i fysik har spelat en viktig roll i utvecklingen av Riemanngeometri hade en enorm inverkan. Allmän relativitetsteori används verkligen Riemann geometri, men dess form är inte positivt definit metersystemet, numera känd som Lorenz grenröret geometri (se den allmänna relativitetsteorin). Sedan bildandet av den allmänna relativitetsteorin, fick Riemannsk snabb utveckling, särskilt e. Cartan i 1920 och 1930, har banat väg för utvecklingen av yttre differentiella former och rörliga ramar, och inrätta Lie grupper och Riemann sambandet mellan geometri och därmed utvecklingen av Riemanngeometri lade en viktig grund och öppnade upp en stor trädgård, långtgående effekter, alltså också utvecklat en linjär kontakt och fiber studier bunt. Ett halvt sekel, från det lokala Riemannsk studien också utvecklats till en helhet, vilket resulterar i en djup och många andra grenar av matematiken och har en viktig roll i modern fysik resultat. Med 60 års utveckling av storskaliga analyser, Riemanngeometri och partiella differentialekvationer (i synnerhet teorin om differentiella operatörer), och mer komplexa funktion teori, algebraisk topologi och andra ämnen av ömsesidigt penetration, påverkar varandra. I modern fysik spårvidd fältteori (även känd som Yang - Mills teori), har Riemanngeometri blivit ett kraftfullt verktyg. Riemannmångfald Riemanngeometri är geometrin hos Riemannian grenrör. Riemannmångfald som hänvisar till en n-dimensionell differentierbar grenröret M, på vilken en viss Riemannsk metrisk g, det vill säga varje differentiable grenröret M är en koordinat stadsdel (U, x) inuti, med en bestämd symmetrisk kvadratisk differential för att mäta två punkter nära oändligt (x1, x2, ..., xn) och (x formler 1 dx1, x2 DX2, ..., xn dxn) avståndet mellan. Här (gij) utgör ett positivt definit symmetrisk n × n-matris, och förutsatt gij (x) på (xi) en viss differentierbarhet, och M ansluts till punkterna P, Q av kurvan C: xi = xi (t) , α ≤ t ≤ b av längden l (C) Formula Om användning av integrerad beräkning. För att säkerställa ett mått på avståndet och valet av oberoende koordinatsystem stadsdel, men också för att uppfylla det andra kravet gij kovariant lag tensor förvandling, med hela språket i Riemanngeometri, det vill säga på en deriverbar grenrör M ges en vikt symmetrisk positivt definit beslut gij andra kovariant tensor fältet g.. M tillsammans med g, dvs (M, g) kallas ett n-dimensionellt Riemannmångfald, är g kallas den metriska tensor eller fundamentala tensor. På grund av historiska skäl, men också ofta kallas Riemannmångfald Riemannian utrymme, men den senare betoningen på lokal betydelse, som ofta hänvisar till en Riemannmångfald öppen delmängd eller ett koordinatsystem stadsdel. Metric tensor g vid varje punkt av grenröret M P (x1, x2, ..., xn) i tangentrummet Tp (M) i fråga om bestämmelserna i en inre produkt gp (formel Eller skriv till: <,>) används för att beräkna den tangentiella ekvationen I längd, vinkel. Det är, om vektorn X, Y ∈ Tp (M), och, om längden av X, X, Y av vinkeln θ, 0 ≤ θ ≤ π beslut. Om cosö = 0, dvs nämnda X, Y ortogonala mot varandra. Du │ │ = 1 kallas en enhetsvektor en vektor, Tp (M) av tjugotvå enhetsvektor ortogonal grupp som består av kända normala ortogonala bas, för någon punkt P ∈ M, vid en viss punkt P o Domain U N enheter finns inom den totala vektorfält e1, e2, ..., en, så att varje punkt i U tangentrummet de utgör en formell positiv formel Cross bas, är dessa n lokal vektorfält som kallas en partiell formell eller delvis formell ortogonal bas ortonormal ram. Regelbunden användning av lokala orthonormal ram för att studera formeln Riemanngeometri kallas levande formel Moving ram metod. Många formler i Riemanngeometri och geometrisk volym av rörliga bilder under särskild enkelt uttryck, som att ta ω1, ω2, ..., är con den lokala formella ortonormal ram e1, e2, ..., en dual formen, även känd som den dubbla grund, motsvarar detta en gång en differentiell form av N, så basen {ei}, eftersom, kan det metriska skrivas som formuläret. Antingen en total paracompact grenrör med Riemannsk metriska, är antalet sådana Riemannsk metriska mycket varierande, men det är inte helt godtycklig. Metric förgreningsrörsstruktur påverkas av dess topologiska struktur begränsningar, och denna begränsning relation är en viktig del av Riemannian forskning, finns det fortfarande många olösta frågor. Med förfarandet för att beräkna längden av kurvan, Riemannmångfald (M, g) vilka som helst två punkterna P, Q avståndet d (P, Q) kan anslutas av M P, Q av alla segment kan vara längden på den differentiella kurvan infimum definierat, nämligen (anslutning P, Q styckvis deriverbar kurva C). Således kan M i avståndet som ett metriskt rum, men också visat att det exporterar topologi och topologi av grenröret M är likvärdig med den ursprungliga. Kontakt, parallell rörelse Euklidiska rymden två tangerande vektorer vid olika punkter kan flyttas i parallella sätt att flytta jämföras på samma punkt, och detta Riemann geometri Väg parallell rörelse oberoende av mobil. Olika punkter på en Riemannian vektorer grenrör tangerande kan också användas för att jämföra metoden för att flytta parallellt, men i allmänhet detta fall, eftersom den krökta grenrör, parallell rörelse och rörelsen på vägen. Låt P (xi) någonstans i grenröret, {ei}, i = 1,2, ..., n är en lokal närhet av punkten P-ruta, P dP intill en oändlig punkt P, koordinaterna xi dxi . Definierar punkten P dP och tangenten utrymmet vid punkten P motsvarar en linjär tangentrummet, så att punkten P dP vektorn som svarar mot punkten P. Och sällskapliga Det är uppenbart av de ovan beskrivna olika slingrande längs en vektor parallell till samma punkt av rörelsen erhållna vektorn Riemanngeometri är i allmänhet inte Same, karaktäriserar denna skillnad graden av krökning Riemannmångfald. Låt P (M, g) vid något tillfälle, är L (P) betecknar P startpunkten och slutpunkten av den slutna kurvan set, om с1, с2 är L (P) av elementen, den sammansatta kurvan с1 · с2 är l (P) av elementet. För X ∈ Tp (M) längs L (P) parallellt med elementet för att flytta tillbaka till den punkt P C erhålles X ┡ ∈ Tp (M), så att L (P) motsvarar ett element i TP (M) → Tp (M) är en isomorfism. Denna isomorfism gruppen bestående av alla kallade vid punkten P och sällskapliga, när M är ansluten grenröret, de olika punkterna är isomorfa och sällskapliga, och sällskapliga studier i ett Riemannsk viktig roll. |
| Användare Omdöme |
|
Inga kommentarer |
