Språk :
SWEWE Medlem :Inloggning |Registrering
Sök
Encyclopedia gemenskap |Encyclopedia Svar |Submit fråga |Ordförråd Kunskap |Överför kunskap
frågor :algebraiskt stängd fält
Besökare (91.177.*.*)[Engelska ]
Kategori :[Science][Annat]
Jag måste svara [Besökare (3.84.*.*) | Inloggning ]

Bild :
Typ :[|jpg|gif|jpeg|png|] Byte :[<2000KB]
Språk :
| Kontrollera kod :
Allt svar [ 1 ]
[Besökare (111.8.*.*)]svar [Kinesisk ]Tid :2020-04-02
Med tanke på ett fält F är dess algebraiska stängning ekvivalent med var och en av följande egenskaper:

Oreducerbart polynom, om och bara om första gradens polynom

Fältet F är ett algebraiskt stängt fält om och bara om det oreducerbara polynomet i ringen F [x] är och endast kan vara ett första gradens polynom.
Påståendet att "ett polynom av den första graden är irreducible" är sant för alla domäner. Om F är ett algebraiskt stängt fält och p (x) är ett oreducerbart polynom av F [x], har det någon rot a, så p (x) är ett multipel av x - a. Eftersom p (x) är irreducible, betyder detta att för vissa k ∈ F \\ {0} finns p (x) = k (x - a). Å andra sidan, om F inte är ett algebraiskt stängt fält, finns det någon icke-konstant polynom p (x) i F [x] som inte har någon rot i F. Låt q (x) vara en oreducerbar faktor för p (x). Eftersom p (x) inte har någon rot i F, har q (x) ingen rot i F. Därför är graden q (x) större än en, eftersom varje grad av polynom har en rot i F.

Varje polynom är produkten av ett polynom i första grad
Fältet F är ett algebraiskt stängt fält, och om och bara om varje koefficient är n ≥ 1 i graden F kan polynomet p (x) sönderdelas till en linjär faktor. Det vill säga att det finns element k, x1, x2, ..., xn i fältet F så att p (x) = k (x - x1) (x - x2) ··· (x - xn).

Om F har den här egenskapen, har uppenbarligen varje icke-konstant polynom i F [x] en rot i F; det vill säga F är ett algebraiskt stängt fält. Å andra sidan, om F är ett algebraiskt stängt fält, kan enligt den föregående egenskapen, och för alla fält K, vilket polynom som helst i K [x] skrivas som produkten av ett oreducerbart polynom, och denna egenskap dras för att vara sant för F.

Varje automorfism av Fn har en egenvektor
Fältet F är ett algebraiskt stängt fält. Om och bara för varje naturligt tal n har någon linjär kartläggning från F till sig själv en viss funktionsvektor.

F ^ ns automorfism har en funktionsvektor om och bara om dess funktionspolynom har en viss rot. Därför, om F är ett algebraiskt stängt fält, har varje automorfism av F ^ n en egenvektor. Å andra sidan, om varje automorfism av F ^ n har en funktionsvektor, låt p (x) vara ett element i F [x]. Genom att dela med sin första termkoefficient får vi en annan polynom q (x) som har rötter om och bara om p (x) har rötter. Men om q (x) = x ^ n an-1x ^ n-1 ··· a0, är q (x) det karakteristiska polynomet för följande vänsmatris:

0 0 0 …… 0 -a01 0 0 …… 0 -a10 1 0 …… 0 -a2

Nedbrytning av rationella uttryck
Fältet F är ett stängt algebraiskt fält. Om och bara om varje unär rationell funktion vars koefficienter är i F kan skrivas som summan av en polynomfunktion och flera rationella funktioner i formen a / (x - b) ^ n, där n är Naturliga siffror, a och b är delar av F.

Om F är ett algebraiskt stängt fält, eftersom de irreducerbara polynomema i F [x] alla är en grad, enligt teoremet om partiell fraktionssönderdelning, har ovanstående egenskaper giltighet.

Anta å andra sidan att ovanstående egenskaper gäller för domän F. Låt p (x) vara ett oreducerbart element i F [x]. Då kan den rationella funktionen 1 / p skrivas som summan av en polynomfunktion q och flera rationella funktioner i formen a / (x - b) ^ n. Därför rationella uttryck
Kan skrivas som kvotienten för två polynomier, där nämnaren är produkten av polynomen i den första graden. Eftersom p (x) är oåterkallelig, måste den kunna dela upp denna produkt, så den måste också vara ett polynom av den första graden.
Sök

版权申明 | 隐私权政策 | Copyright @2018 World uppslagsverk kunskap